Definitie van de Gulden Snede

De Gulden Snede is een populaire benaming voor een speciaal verhoudingsgetal,
waarover veel verhalen de ronde doen.
Zo zou het menselijk oog een voorkeur hebben voor voorwerpen die,
qua onderlinge verhoudingen zoals lengte : breedte,
in verhouding staan met de Gulden Snede.

De Gulden Snede heeft, net als het getal p, oneindig veel cijfers.
Een andere overeenkomst met het getal p is,
dat de Gulden Snede ook een eigen symbool heeft, namelijk de j.
Dit spreek je uit al "fie", het is de Griekse letter phi.

Het exacte getal phi op een aantal decimalen
j = 1,6180339887498948482…

Het is natuurlijk veel makkelijker en exacter om het getal op zijn wiskundige manier te noteren, en niet af te ronden.

½(1+Ö5)

"GULDEN SNEDE (ook gouden snede, sectio aurea, sectio divina) of verdeling in uiterste en middelste reden, noemt men een zodanige verdeling van een lijnsegment AB in twee delen AP en PB, dat het grootste stuk AP middenevenredig is tussen het kleinste stuk BP en de gehele lijn AB en derhalve AP²=AB x BP, uit welke de deelverhouding ½(-1+v5) voortvloeit. De oude Grieken bestudeerden deze deelverhouding (waaraan zij een bijzondere esthetische en mystieke waarde toekenden) met grote belangstelling en ook in later eeuwen hebben vele wiskundigen zich er mede beziggehouden. De gulden snede is ontleend aan de verhoudingen van het menselijk lichaam, ook aan die in dieren, bloemen, planten, kristallen enz."

Bron: Algemene Encyclopedie Winkler-Prins

Eerste berekening van de Gulden Snede

In Griekenland was het altijd al gebruikelijk om, met name de tempels,
via een bepaald meetkundig systeem te bouwen.
Toen de wiskunde zich beter ontwikkelde,
werden ook deze meetkundige systemen steeds ingewikkelder.
Tempels werden altijd al gebouwd met een bepaalde lengte : breedte verhouding,
maar gaandeweg de 4e eeuw voor Christus werd deze verhouding vastgelegd.
Dit deed men niet direct met getallen,
dus niet lengte : breedte is 5 : 3 of iets dergelijks.
Men had daar een heel mooi systeem voor gevonden.

Dit is de ideale rechthoek.
Zijn lengte is de diameter van een halve cirkel,
en zijn breedte is de zijde van de
ingeschreven (grootst mogelijke) vierkant in deze halve cirkel.

Hoe bereken je nu de verhouding tussen deze lengte en breedte?
Stel, je tekent deze rechthoek en cirkel uit, en benoemt de onbekende zijden als volgt:

Het zou nu fantastisch zijn als je een verhouding tussen a en b zou kunnen formuleren. Gelukkig was er de Griek Eudoxus,
die in de 4e eeuw voor Christus aan Plato’s Academie studeerde,
en een verhoudingsgetal tussen a en b wist te definiëren.

Zie hier: dezelfde tekening, maar met een klein verschil:
door tussen de punten AB en BC een lijn te trekken,
zijn er twee gelijkvormige driehoeken ontstaan.
Ü ABD ~ Ü BCD
AB ~ BC
AD ~ BD
BD ~ DC
AD = a + b
BD = b
DC = a
AD : BD = BD : DC
(a+b) : b = b : a

Je kan ook zeggen:
totaal : grote deel = grote deel : kleine deel
totaal : M = M : m

Stel
b = 1
(a+1) : 1 = 1 : a
Na kruislings vermenigvuldigen geeft dit
(a + 1) * a = 1 * 1
a² + a = 1
a² + a - 1 = 0

Hierop laten we de ABC-formule los.

ABC-formule
A * x² + B * x + C = 0
D = B² - 4AC
x = (B+ÖD) : 2A
of
x = (B-ÖD) : 2A

a² + a - 1 = 0
A = 1, B = 1 en C = -1
D = 1² - (4 * 1 * -1) = 1 - (-4) = 5
a = (1 + Ö5) : 2 * 1 = ½ (1+Ö5)
of
a = (1 - Ö5) : 2 * 1 = ½ (1-Ö5)

De volgende dingen zijn later bekend komen te staan als de Gulden Snede:
ten eerste de verhoudingsformule
M : m = totaal : M
en ten tweede het getal zelf
½ (1+Ö5) = 1,618
De Gulden Lijn

Stel:
Wanneer je een lijn van 1 meter lengte verdeelt in 2 stukken,
een kleiner stuk van precies 38,2 cm en een groter stuk van 61,8 cm,
dan is de verhouding tussen het kleine stuk (m) en het grote stuk (M)
precies dezelfde als de verhouding tussen het grote stuk en de totale lijn.
Deze verhouding komt overeen met het getal phi.

100 cm : 61,8 = 1,618
61,8 : 38,2 = 1,618
½(1+Ö5) = 1,618

Als de Gulden Snede verhouding zou kloppen, dan zou
kleine "helft" : grote "helft" = grote "helft" : hele lijn

AP : PB = PB : AB

De hele lijn is slechts een optelsom van de twee "helften".
AB = AP + PB
Nu heb je dus:
AP : PB = PB : (AP + PB)

Stel:
AP = x
PB = y
Nu heb je dus:
x : y = y : (x+y)

Stel:
x = 1
Nu heb je dus:
1 : y = y : (1 + y)

Als je kruislings vermenigvuldigt, krijg je:
1(1+y) = y*y
y²=1+y
-y² + y + 1=0

Met de ABC-formule kun je nu het getal y berekenen.
-y² + y + 1 = 0
A = -1
B = 1
C = 1
D= 1²- 4*-1*1 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5
y= (1 + Ö5) : 2*1 = ½ (1 + Ö5)
of
y = (1-Ö5) : 2*1 = ½ (1 - Ö5)

En laat dat getal,
½ (1 + Ö5),
nou toevallig net het getal phi zijn.
De Gulden Rechthoek

Als je van een grote rechthoek (ABCD) een vierkantje afhaalt (ABEF),
moet de verhouding lengte : breedte van de grote rechthoek (ABCD)
dezelfde zijn als lengte : breedte van de kleine rechthoek.
Dan is deze verhouding overeenkomstig met het getal phi,
en is er sprake van een Gulden Rechthoek.

lengte grote rechthoek : breedte grote rechthoek =
lengte kleine rechthoek : breedte kleine rechthoek

In dit vierkant is dat dus:
AD : AB = EF : DE

Omdat
AB = EF = AE
en
AD = AE + DE,
kun je ook schrijven

(AB + DE) : AB = AB : DE

Stel
AB = x
DE = y
dan kan je de formule herschrijven als

(x+y) : x = x : y

Stel,
x = 1
Dan ziet de formule er als volgt uit:

(1 + y) : 1 = 1 : y



Na kruislings vermenigvuldigen geeft dat
y * (1 + y) = 1 * 1
y + y² = 1
y² + y - 1 = 0

Hierop kun je de ABC-formule loslaten.
A = 1
B = 1
C = -1
D = 1² - 4 * 1 * -1 = 1 - (-4) = 5
y = (1 + Ö5) : 2 = ½ (1 + Ö5)
of
y = (1 - Ö5) : 2 = ½ (1 - Ö5)

En weer komen we het getal phi tegen,
als uitkomst van y,
½ (1 + Ö5)

Als deze verhoudingen precies kloppen volgens de Gulden Snede,
kun je het proces van delen van de rechthoeken eindeloos herhalen.

Het bovenstaande plaatje is een voorbeeld
van deze oneindige delingsreeks in de Gulden Rechthoek.

Als je deze reeks volgt, krijg je een zogenaamde logaritmische spiraal.
Deze spiraal zie je veel terug in de natuur, zoals bijvoorbeeld in schelpen.

Wat is Fibonacci’s reeks?

In 1202 schreef de wiskundige Leonardo Pisano
(beter bekend als Fibonacci; later meer over hem)
een boek ("Liber Abaci" - Boek van het Telraam),
waarin hij allerlei wiskundige problemen oplost.
Hij behandelt o.a. het "konijntjesprobleem",
ook bekend als de rij van Fibonacci.

Stel
dat een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar op de wereld zet,
en dat na 2 maand ook dit paar...

juliecaubergh 13 januari 2005 @ 14:25 uur Ik ben bezig aan een werkstuk van wiskunde over de gulden snede, wat hier staat over architectuur en het menselijk lichaam kan ik heel goed gebruiken, maar zijn hier ook afbeeldingen van? Er wordt steeds verwezen naar nummertjes (by Parthenon en het menselijk lichaam), maar waar kan ik deze prenten vinden? Gelieve mij zo snel mogelijk iets te laten weten aub...