Hoofdvraag:

Welke betekenis heeft de Gulden snede bij wiskunde (meetkunde, getallenrijen) ??

Deel opdrachten:

1 Wat is de Gulden snede
2 Wie is de bedenker van de Gulden snede?
3 Welk getal hoort bij de Gulden snede?
4 Maak een tekening waar je kunt zien wat de Gulden snede verhouding is?
5 Wat is Fibonacci?
A. Wat heeft Fibonacci te maken met de Gulden snede?
6 Wat is een Lucas rij?
A Wat heeft het te maken met de Gulden snede?
8 Wat heeft de Architectuur te maken met de Gulden snede?


Hoe is de Gulden snede ontstaan?

Geleerden waren vroeger veelal bezig met het vinden van verklaringen voor vele dingen. Onder andere een ideale verhouding bij gebouwen en schilderijen.
Er was een Griekse onderzoeker die heette Euclides hij leefde van 365 voor Christus tot 305 voor Christus. Hij schreef 13 boeken met als begin hoe je van een lijnstuk de helft kon krijgen. Hij maakte twee cirkels met de lijnstuk als de staal. En waar de twee cirkels elkaar kruisten kun je een lijnstuk tekenen en zo vond men het midden. de Gulden snede is dus een verhouding tussen twee lijnstukken.


Toen Euclides bij boek nummer 6 hoofdstuk 20 was, vond hij een mooie samenhang tussen twee lijnstukken. Hij kwam tot een verhouding die vrij makkelijk is. Als je kortste lijnstuk deelt door het langste lijnstuk moet het zelfde uitkomen als je het langste lijnstuk deelt door allebei de lijnstukken samen.
<-------- 1 --------->
A G B
g 1–g
En zo kwam hij op de volgende formule.

BG = AG is ook wel 1-g = g (1-g)(1)=(g)(g) , 1-g= g² , g² -g =1
AG AB g 1
Dus dit is de formule waar hij achter kwam; x² -x = 1 maar de naam de Gulden snede is pas in de achttiende eeuw verzonnen.














Wat is precies het getal en hoe bereken je het?

Je weet nu de verhouding van Euclides. Maar je weet nog niet wat het getal x is.
x 1-x
1
De verhouding is
1-x = x
x 1
Door de kruisvermenigvuldiging toe te passen
x² = 1 -x

x²+ x = 1
x²+ x -1 = 0
Om optelossen wat X is, maak ik gebruik van de ABC-formule
A=1 B=1 C=-1
D= B² -4AC
D=1 + 4= 5
X= -1±5
2
x = 0,618 of x= 1,618
Dus de verhouding is 1: 0,618 of
1,618:1




Deze formule heb ik net uitgelegd
x²= x+1
Maar is ook nog een andere formule van de Gulden snede namelijk
x = 1 + 1/x

Met deze formule kun je gemakkelijk met je Grafische rekenmachine het getal x berekenen.
1+1/x x
Als dan steeds op enter drukt dan kom je steeds dichter bij het getal.


Toelichting
Wat doet eigenlijk het rekenmachientje;

Stap 1
X= 1 +1
X

Stap 2
X=1+1
1+1
x

stap 3
X=1+1
1+1
1 +1
x
enzovoort Hoe maak je hier een programma van.
Naam: phi
X=1000
B=1
Lbl 1
B+1 B
If B=27
Then stop
End
1+1/x x
goto 1


Hoe teken je de Gulden Snede?


Je kunt doormiddel van een passer en een liniaal de verhouding maken.
In de volgende plaatjes en de uitleg kun je zien hoe het moet. Je begint onderop en gaat per stap steeds een plaatje naar boven.






Bewijs
a=3
b=2
Verhouding is 1:0,618
b=3 x 0,618
b=1,9
Klopt want b is ook in de tekening ongeveer 1,9
1. Je tekent een lijn C(is de hele lijn)
2. Teken met een liniaal een driehoek waar de rechtopstaande zijde een ½C is.
3. Teken met een passer een cirkel met een staal van ½C.
4. Teken van uit het andere punt een cirkel waar de straal de andere cirkel snijd.(zie tekening)
5. Waar de cirkel van 4 snijdt is de verhouding getekend
De Gulden snede tekenen via een driehoek.

Door middel van een driehoek kun je de Guldensnede ook tekenen. Je neemt een geodriehoek en maakt een driehoek met de hoeken van 72 graden, 72 graden en 36 graden. Een van de hoeken van 72 graden deel je door de helft, waardoor er twee evenwijdige hoeken van 36 graden ontstaan. Je ziet op de tekening dat er een verhouding is ontstaan tussen a en b.












Bewijs

Op de tekening is de lijn c 8 cm.
Lijnstuk a=3,06
Lijnstuk b=4,94

a = b 3.06 = 4,94 en de uitkomst is het zelfde
b c 4,96 8 bij allebei 0.61. Dus het klopt.
De Guldenrechthoek

Een Guldenrechthoek is een vierkant met daaraan vast een rechthoek. De vierkant en de rechthoek hebben samen de Gulden snede verhouding.
Doormiddel van een liniaal en een passer kun je bepalen hoe groot de rechthoek moet zijn om de Gulden Snede verhouding te krijgen.



Hoe moet je dan de Gulden rechthoek krijgen. De verhouding is a:b= b:c.
Door het construeren van de volgende plaatjes krijg je de Gulden snede verhouding.
Bewijs
a=3,75
b=2,35
1:0,618
3,75:b
b=3,75 x 0,618= 2,32
Het klopt want zijde b is in de tekening ook 2,32 ongeveer.


Je neemt een vierkant van bijvoorbeeld van 5 bij 5 cm.
De onderste zijde noemen we zijde a.
Bepaal de helft van a.
De beide halve zijden noemen we 1/2a
Bij dat punt zet je de passer punt en passer potlood zet je bij de hoek links boven.(Zie tekening)
Je tekent een cirkel. En je trekt lijn a door tot dat de lijn de cirkel snijdt. Nu kun je de rechthoek verder afmaken,
Wat & Wie is Fibonacci?
De wiskundige Leonardo Pisano, ook wel Leonardo de Pisa genoemd, werd rond 1175 geboren in Pisa. Hij schreef in 1202 een boek met de titel "Liber Abaci", het "boek van het telraam". Met dit boek introduceerde hij de Arabische getallen in Europa. Hij lost in het boek allerlei problemen uit het dagelijks leven op, met behulp van de Arabische algebra. Zo behandelt hij ook het "Konijntjesprobleem".
Als een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar voortbrengt, dat na twee maanden zelf ook weer een nieuw konijnenpaar voortbrengt, hoeveel konijnenparen heb je dan na verloop van tijd, verondersteld dat ze alle in leven blijven?
Tussen de getallen in deze reeks bestaat een verband, namelijk dat elke term gelijk is aan de som van de twee voorafgaande termen.
Voorbeeld: bij de maand mei zijn er 8 konijnen. Bij de vorige maand april waren er 5 konijnen. Door de maand april bij de maand mei op te tellen krijg je de volgende maand, de maand juni Door middel van de som kan makkelijk voorspellen wat de volgende maand moet zijn.
Bewijs.
5+8=13. En dat is de volgende maand dus klopt het.

Wat heeft Fibonacci te maken met de Gulden...








Nog geen opmerkingen of toevoegingen op dit document geplaatst.
Wil jij een bericht plaatsen dan kan dat door op "post message" te klikken.