Fibonacci (gulden snede)
Geplaatst op Maandag 13 januari 2003
Inleiding
Weer een po, de zoveelste. Deze keer voor wiskunde, hoe moet je daar nu weer een po over maken? Dat zullen we waarschijnlijk weten als we deze po afhebben. We vonden het lastig om een onderwerp te vinden. Uiteindelijk hebben we gekozen voor Fibonacci, die een getallenreeks bedacht, omdat hij zich afvroeg hoe snel konijnen zich voortplanten. We kwamen op het idee doordat we in het boek 4V1 achter hoofdstuk 1, op bladzijde 47, een opdracht voor een po zagen staan. Bij deze po stond een vierkant van 8 x 8 cm dat verknipt werd tot 4 stukken. En van die 4 stukken werd een rechthoek gevormd van 13 x 5 cm. Als je de oppervlakte gaat berekenen (l x b) blijkt dat de rechthoek 1 cm² groter. Hoe dat kan en wat heeft Fibonacci daar mee te maken? Dat willen wij in deze po duidelijk maken en ook nog een paar andere dingen die ook over Fibonacci gaan. Wij zijn dus tot het onderwerp ‘Fibonacci’ gekomen en hebben daarbij deelvragen verzonnen die over het onderwerp gaan.Onderwerp: Fibonacci
De deelvragen:
- Hoe kwam Fibonacci tot de getallenreeks en wat houdt deze in?
- Als je van een vierkant van 8 x 8 een rechthoek maakt van 13 x 5, dan is de oppervlakte van de rechthoek 1 cm² meer, hoe kan het dat er opeens een cm² bij is?
- Hoe zit dat bij een vierkant van 13 x 13 cm?
- Wat heeft de getallenreeks van Fibonacci hiermee te maken?
- Zijn er ook formules te bedenken die op de reeks van toepassing zijn?
- Waar is die reeks nog meer terug te vinden?
| Week | Werkzaamheden | Verloop | Heleen slu | Annette slu |
| 6 | Fase 1 maken | Onderwerp zal een probleem worden | 3uur | 3uur |
| 7 | Meer info verzamelen | Zoeken op internet zal veel tijd in beslag nemen | 1 uur | 1uur |
| 8 | Definitieve Fase 1 veranderen + antwoord deelvraag 1 | Waarschijnlijk een trage start (een kwestie van zelfkennis) Deelvraag 1Annette |
½ uur | 1 ½ uur |
| 9 | Antwoord deelvraag 1& 2 & 3 | Misschien moeilijk uit te leggen, vooral vraag 3 deelvraag 2 & 3 Heleen |
3 uur | 1 uur |
| 10 | Antwoord deelvraag 4 & 5 & 6 |
Vraag 4 waarschijnlijk makkelijk als je 2 en 3 al gedaan hebt Vraag 5 wordt waarschijnlijk kort, maar krachtig Deelvraag: 4 Heleen; 5 & 6 Annette |
2 uur | 3 uur |
| 11 | Antwoord deelvraag 6 | Misschien te weinig informatie voor deze vraag, maar proberen dan verder te zoeken | ½ uur | 2uur |
| 12 | Afronding Po | Misschien hard doorwerken | 1½ uur | 1 uur |
Fibonacci’ s eigenlijke naam is Leonardo van Pisa, zijn vader heette Bonacci (= goedzak). Fibonacci betekent eigenlijk gewoon: zoon van Bonacci. Zijn vader was functionaris van een Italiaanse handelsmaatschappij in Bougie in Algerije. Leonardo ging met zijn vader mee, want ook hij moest handelaar worden, hij reisde zo al de landen rond de Middellandse zee af en kreeg steeds meer interesse in de wetenschap. In Bougie kreeg de jonge Leonardo ook zijn eerste wiskundige lessen van islamitische leraren, die het Hindoe–Arabische decimale getallenstelsel gebruikten, wat ook het symbool nul bevat (dat is hetzelfde getallenstelsel wat wij nu ook nog gebruiken). Leonardo vond dit getallenstelsel veel makkelijker dan het Romeinse getallenstelsel, dat in zijn eigen land gebruikt werd. Hij schreef daar ook een boek over dat Liber abaci heet (letterlijk: boek van abacus). Hij is daarmee de eerste wiskundige van het christelijke westen die het Hindoe – Arabische getallenstelsel gebruikt. Zijn boek is in feite een uitgebreid handboek voor kooplieden over de rekenkunde en algebra. Hoewel het boek al in 1202 in Pisa werd voltooid, is het alleen nog bekend in een herziene uitgave uit 1228.
Wat houdt de reeks van Fibonacci in?
Fibonacci schrijft in zijn boek Liber Abaci over het volgende probleem:
Stel dat twee volwassen konijnen, een mannetje en een vrouwtje, binnen een omheining worden gezet om zich voort te planten. Veronderstel dat de konijnen twee maanden na hun eigen geboorte beginnen te jongen, dat ze dan alleen een mannetje en een vrouwtje voorbrengen en dat ze aan het eind van iedere volgende maand zo’ n paartje werpen. Hoeveel konijnenparen zullen er dan na een jaar binnen de omheining zijn als er geen konijnen doodgaan?
Je krijgt dan het volgende resultaat:
| Maand | Aantal paren dat jongt | Aantal paren dat niet jongt | Aantal paren dat geboren wordt | Totaal aantal paren |
| 1. Januari | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 2. Februari | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3. Maart | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 4. April | 1 | 1 | 1 | 3 |
| 5. Mei | 2 | 1 | 2 | 5 |
| 6. Juni | 3 | 2 | 3 | 8 |
| 7. Juli | 5 | 3 | 5 | 13 |
| 8. Augustus | 8 | 5 | 8 | 21 |
| 9. September | 13 | 8 | 13 | 34 |
| 10. Oktober | 21 | 13 | 21 | 55 |
| 11. November | 34 | 21 | 34 | 89 |
| 12. December | 55 | 34 | 55 | 144 |
Hoe komt het dat deze reeks zo bekend is?
Dat komt zeker niet in de eerste plaats door Fibonacci zelf, hij heeft die reeks wel bedacht en in zijn boek ‘liber abaci’ opgeschreven, maar heeft er verder weinig mee gedaan, ook andere wiskundigen in die tijd vonden zijn reeks niet zo bijzonder, en gingen er niet serieus mee aan het rekenen.
Maar in de negentiende eeuw was er ene Edouard Lucas, aan het eind van deze po meer over hem, die wel veel aandacht aan Fibonacci ’s reeks schonk, hij was ook degene die de naam Fibonacci koppelde aan het konijnenprobleem, en aan de getallenreeks die daarbij hoort, zo ontstond dus eigenlijk pas in de negentiende eeuw het begrip ‘Fibonacci ’s getallenreeks’.
In de negentiende eeuw werd er niet alleen door Edouard onderzoek gedaan naar Fibonacci ’s reeks ook andere wiskundigen gingen zich er in verdiepen. Toe begonnen de artikelen over de reeks bijna net zo snel te groeien als de konijnen in de reeks van Fibonacci.
Een van de redenen waarom de reeks van Fibonacci zo veel aandacht krijgt is omdat hij schijnbaar op onverwachte plaatsen opeens opduikt. Rechte ontwikkelingen in computerprogrammering hebben de belangstellig voor de reeks weer aangewakkerd, omdat deze nuttige toepassingen blijkt te hebben op het gebied van sorteren en terugzoeken van gegevens, het voortbrengen van random getallen, en zelfs op het gebied van snelle benaderingsmethodes van maximale en minimale waarden van ingewikkelde functies, waarvan geen afgeleiden bekend zijn.
Als je van een vierkant van 8 x 8 een rechthoek maakt van 13 x 5, dan is de oppervlakte van de rechthoek 1 cm² meer, hoe kan het dat er opeens een cm² bij is?
Eerst moet je natuurlijk weten hoe je een rechthoek van 13 x 5 van een vierkant van 8 x 8 kan maken. Dat is niet moeilijk. Je hebt een vierkant van 8 x 8. Deze verdeel je in vier stukken, A, B, C en D. Die stukken knip je uit en als je die op een andere manier neerlegt dan krijg je een rechthoek van 13 x 5, dit is niet meer dan een klein makkelijk legpuzzeltje, dat kan een kind zelfs nog! Deze figuurtjes zijn toegevoegd aan het eind van deze vraag.
We hebben alleen even de kleuren veranderd, maar dat maakt niet uit, want A en B zijn gelijk en C en D ook. Dit hebben we gedaan om de eigenlijke vraag te beantwoorden, nml hoe kan het dat er opeens een cm² bij is?
Op het eerste gezicht lijken alle stukken gewoon even groot. Dit is nog beter te zien in boek 4V1 op bladzijde 47, omdat ze daar natuurlijk geen hokjespapier hebben en gewoon dezelfde kleuren hebben gebruikt. De stukken lijken allemaal even groot, maar zijn ze dat ook? Want… schijn bedriegt!
Want als je de oppervlakte van het vierkant en de rechthoek gaat berekenen(l x b) dan heeft de rechthoek 1 cm² meer. Het vierkant is 64 cm² en de rechthoek 65 cm², er klopt dus iets niet, want eigenlijk behoren die gelijk te zijn. Waar zit die ene cm² verstopt?
Er moet dus iets niet kloppen met de vier stukken, daar moet op de een of andere manier wat bij zijn gesmokkeld, maar hoe?
Laten we hier proberen achter te komen door te kijken of alle stukken wel gelijk zijn. Eerst kijken we of A en B wel hetzelfde zijn. Zoals je kunt zien geldt dit in ieder geval wel voor de zijkanten, want die zijn allebei gewoon 5 cm. Dit klopt dus in ieder geval wel.
Nou kijken we of dat bij C en D ook het geval is. C en D behoren allebei 8 x 3 te zijn, maar zoals te zien is in de rechthoek weet je alleen de 8 en de 3 niet, maar die kan je berekenen, namelijk met het snavelfiguur.
Je krijgt dan Δ BED is gelijk aan Δ BCA. Je moet ED weten, dus krijg je de volgende formule:
BD / BA = DE / AC dan krijg je
8 / 13 = x / 5
Om x te berekenen moet je kruiselings vermenigvuldigen. Je krijgt dan:
8 ∙ 5 = 13 ∙ x
13 ∙ x = 40
x = 3, 076923077, dus ED ≈ 3, 08
Dit klopt dus al niet, want het moet precies 3 zijn. Waarschijnlijk is dit het eerste begin van die ene cm². Eigenlijk had je dit ook wel kunnen zien, want als je goed kijkt naar de rechthoek dan zie je al dat ED heel iets langer is dan 3 cm.
De volgende stap is om de oppervlaktes van de stukjes te berekenen.
Eerst berekenen we de oppervlakte van A van het vierkant, de bruine A. Je kan A verdelen in 2 stukken, je krijgt dan een rechthoek en een driehoek. Om vervolgens de oppervlakte van A te berekenen, heb je 2 formules nodig. Voor de rechthoek l ∙ b en voor de driehoek ½ ∙ zijde ∙ bijbehorende hoogte. Eerst berekenen we de rechthoek: Dan de driehoek:
l ∙ b = 3 ∙ 5 ½ ∙ zijde ∙ bbh = ½ ∙ 5 ∙ 2
= 15 cm² = 5 cm²
de oppervlakte van de bruine A is dus 20 cm².
Hierna berekenen we natuurlijk de oppervlakte van de gele A van de rechthoek. Deze kan je ook in twee stukken verdelen net als de bruine A en daar hoort natuurlijk ook 20 cm² uit te komen, maar of dat zo is…?
De oppervlakte van de rechthoek: De driehoek
l ∙ b = 5 ∙ 3,08 ½ ∙ zijde ∙ bbh = ½ ∙ 5 ∙ 1,92
= 15,4 cm² = 4,8 cm²
de oppervlakte van de gele A is dus 20,2 cm².
Dit klopt dus niet. Als je alle oppervlaktes berekent, dan zal je waarschijnlijk die ene cm² vinden, want we hebben nu al 0,2 cm², dus we moeten nog 0,8 cm². Maar B is gelijk aan A, dus dat verschil is ook 0,2 cm², dus nu hebben we al 0,4 cm² en hoeven we nog maar 0,6 cm². Het schiet al op. Waarschijnlijk is er bij C 0,3 cm² bij gesmokkeld en bij D ook, maar dat gaan we nu berekenen.
Eerst berekenen we de paarse C, van het vierkant. Hiervoor gebruiken we weer ½ ∙ zijde ∙ bijbehorende hoogte: ½ ∙ zijde ∙ bbh = ½ ∙ 8 ∙ 3
=12 cm²
Daarna berekenen we de gele C, van de rechthoek:
½ ∙ zijde ∙ bbh = ½ ∙ 8 ∙ 3,08
= 12, 32 cm²
Dat scheelt dus 0,32 cm², dit is iets meer dan we verwachtten, maar dat is wel logisch, want je hebt het natuurlijk afgerond. We hebben dit ook berekend en dan in 4 decimalen, dan komt er afgerond 9,8 uit. Dus als je alle cijfers achter de komma zou laten staan, dan zou je er precies 1 cm² uit krijgen.
Maar als je nu alles bij elkaar optelt, dan krijg je:
A + B + C + D = 0,2 + 0,2 +0,32 +0,32 = 1,04 cm²
maar eigenlijk zouden we C en D nu ook kunnen afronden, dat zou best logisch zijn en dan krijg je gewoon precies 1 cm² en die zochten we. Dit is wel een heel duidelijk voorbeeld van dat schijn bedriegt!
Je kunt het ook wel zien, want als je het vierkant uitknipt en als je het rechthoek uitknipt en die stukken op elkaar legt, dan verschilt het ook een heel klein beetje, dan klopt het gewoon net niet. Dit wilden we eerst laten zien, daardoor hebben we ook de kleuren veranderd, maar achteraf vonden we dan een beetje overbodig, want waarschijnlijk is het toch moeilijk te zien.
We hebben aan het begin van deze vraag gezegd dat je het vierkant gewoon moet verknippen en daar een rechthoek van maken, maar je kan beter, en zo hebben wij het ook gedaan, de figuren die al in het boek stonden verknippen, want dan zie je het beter. Want als je het op de manier doet van het vierkant verknippen, dan zul je zien dat het ook net niet klopt en je krijgt dan dus een beetje een scheve rechthoek. Daaruit kan je dan wel gelijk zien dat het niet klopt en dat er iets bij gesmokkeld is.
De volgende vraag die we beantwoorden is: Hoe zit dat van vraag 2 bij een vierkant van 13 x 13 cm? Zoals in het boek staat moet je bij dit vierkant een rechthoek maken van 21 x 8 cm, waarom? Dat behandelen we in de volgende deelvraag, namelijk wat de getallenrij van Fibonacci hiermee heeft te maken. Je hebt dus een vierkant van 13 x 13 cm en een rechthoek van 21 x 8 cm, zoals je aan het eind van deze vraag ziet. De vraag komt natuurlijk op van: Is er hier ook 1 cm² verschil of meer of minder? Dit is niet moeilijk te berekenen, want dit doe je door de oppervlakte te berekenen met de formule l x b:
Vierkant: rechthoek:
Opp. = l ∙ b opp. = l ∙ b
= 13 ∙ 13 = 21 ∙ 8
= 169 cm² = 168 cm²
verschil: = 169 – 168 cm²
= 1 cm²
Dus ook hier 1 cm², alleen is het hier precies andersom, hier is niet de rechthoek 1 cm² meer, maar het vierkant. Hoe dit komt weten we niet, maar als we verder kijken bij de andere rechthoek/vierkant vorm, dan krijg je het volgende:
| Vierkant | Rechthoek | Wie heeft er 1 cm² meer? |
| 3 x 3 =9 | 2 x 5 = 10 | Rechthoek |
| 5 x 5 = 25 | 3 x 8 = 24 | Vierkant |
| 8 x 8 = 64 | 5 x 13 = 65 | Rechthoek |
| 13 x 13 = 169 | 8 x 21 = 168 | Vierkant |
| 21 x 21 = 441 | 13 x 34 = 442 | Rechthoek |
Enzovoort, het is dus gewoon om de beurt.
Maar we weten nu wel dat het 1 cm ² verschilt, maar we weten nog niet hoe het hier kan, omdat het nu natuurlijk weer veranderd is. Dus ook hier beginnen we dan maar met de oppervlaktes berekenen, want daar zal het wel in zitten.
Hiervoor moeten we eerst het lijnstuk DE bereken van het volgende snavelfiguur, anders komen we niet uit.
Δ BED is gelijk aan Δ BCA
Je krijgt dan:
BD / BA = DE / AC
13 / 21 = DE / 8
DE = 8 ∙ 13 / 21
= 4,95…...
conclusie: geen 5, maar 4, 95….. het begin van de 1 cm²!
Nu kunnen we verder met het berekenen van de oppervlaktes. We beginnen met de oppervlakte van de vierkant-A, oftewel de bruine A. Deze A kan je verdelen in twee stukken, namelijk een rechthoek en een driehoek, zodat je de oppervlakte beter kan berekenen.
Eerst de rechthoek van de bruine A: dan de driehoek:
Opp. = l ∙ b opp. = ½ ∙ zijde ∙ bbh
= 8 ∙ 5 = ½ ∙ 8 ∙ 3
= 40 cm² = 12 cm²
de hele oppervlakte van de bruine A is dus: 40 + 12 = 52 cm²
Daarna berekenen we de oppervlakte van de rechthoek-A, oftewel de oranje A. De berekenen we op dezelfde manier als de bruine A:
Reacties
| ||||||||
Laatst bekeken...
Forum Scholierennet.com
CD VWO