De Gulden Snede
“Het menselijk lichaam als maatstaaf voor architectuur en kunst”



Cover: The Vitruvian man van Leonardo da Vinci, ca. 1490
Inleiding

Deze scriptie die voor u ligt gaat over de Gulden Snede. Ik heb voor dit onderwerp gekozen omdat mijn eerste idee was om iets te schrijven over de invloed van de wiskunde op de kunst. Vooral het idee om veranderingen in beeldhouw- schilder- en bouwkunst op te sporen, samenhangend met de ontwikkeling van de wiskunde door de Griekse en Romeinse ‘professoren’leek me zeer interessant. Toch heb ik deze opzet uiteindelijk niet gekozen omdat het idee over de gulden snede me aan het denken zette over de invloed van dit verschijnsel op de verschillende soorten kunst. Met name het feit dat het idee dat ten grondslag ligt aan deze theorie al eeuwenoud is leek mij zeer boeiend. Vooral ook omdat je de Gulden Snede eigenlijk overal tegenkomt, bijvoorbeeld ook in het werk van hedendaagse kunstenaars als Mario Merz.
Dat is ook de reden geweest dat ik heb gekozen voor de volgende probleemstelling: ‘Wat is de invloed van de Gulden Snede op het werk van verschillende kunstenaars’. Het was mijn doel ook om parallellen te vinden tussen het werk van bijvoorbeeld een eeuwenoude Griek en een hedendaagse kunstenaar. Ook nadat ik me had georiënteerd op het onderwerp vroeg ik me af in hoeverre de Gulden Snede nou echt voorkomt in dingen als gebouwen, gebruiksvoorwerpen, en andere kunst.
Vervolgens heb ik mijn probleemstelling toegespitst op de kunstenaars die ik wilde onderzoeken. Het werden respectievelijk Le Corbusier, Mario Merz, Vitruvius, en Fibionacci. Toch was ik er niet zeker van of ik niet de Griekse en/of Romeinse bouwstijlen nog speciaal wilde bekijken. Omdat bouwstijlen niet afhankelijk zijn van één persoon, en ik toch graag wat van de Gulden Snede in de verschillende periodes in de kunstgeschiedenis wilde bekijken, heb ik ervoor gekozen om van drie verschillende stijlen één bouwwerk te onderzoeken. De piramide van Khufu van de Egyptenaren, het Griekse Parthenon, en het Romeinse Tempietto.
Bij het maken van de scriptie ben ik eerst begonnen met veel informatie te verzamelen, onder andere in kunstencyclopedieën, en op internet. Vervolgens heb ik uit de grote hoeveelheden informatie van internet de belangrijkste zaken en de hoofdpunten eruit gehaald. En daarna ben ik begonnen met het schrijven van de scriptie. Ik heb geen verschillende deelvragen geformuleerd bij elk verschillend hoofdstuk, want ik vond dat de hoofdvraag voldoende was, en de verschillende kunstenaars behoeven geen extra deelvraag. Ik hoop dat mijn scriptie ook nog voldoende nieuwe elementen bevat zodat het misschien nog een beetje leerzaam zal zijn voor u.






Jasper Veneman 6v1


Wat is de gulden Snede?

Historisch: Over het ontstaan van de Gulden Snede is weinig bekend, dus exacte jaartallen of een specifieke ontdekker van de Gulden Snede is waarschijnlijk ook niet aan te wijzen. Vele boeken over de verering van de Gulden Snede gaan terug op de Griekse wiskundige en filosoof Pythagoras uit de zesde eeuw voor Christus. Hij heeft zelf geen geschriften nagelaten, maar bekend is wel dat hij wiskundige inzichten verbond met een getallenmystiek die rekenkundige vormen bezat. De eerste concrete verwijzing naar de Gulden Snede vinden we rond 300 voor Christus bij Euclides. Euclides beschrijft een groot aantal bijzondere wiskundige eigenschappen van deze verhouding. Vele Griekse bouwwerken blijken de menselijke verhoudingen te bevatten, een mooi voorbeeld is het Parthenon in Athene, Griekenland. De belangrijkste verhouding is de afstand van de voet tot aan de navel vergeleken met de totale lengte van een mens, dit is dus 1 : 1,618. Dit is het meest opvallende en waarschijnlijk belangrijkste element van de Gulden Snede. In het werk van Vitruvius De Architectura is er geen bijzondere rol voor de Gulden Snede weggelegd, maar juist wel voor de verhoudingen van het menselijk lichaam. Niet die verhouding maar de proporties van het menselijk lichaam worden door Vitruvius als maatgevend voor de architectuur aanbevolen. Pas in de periode van de Renaissance wordt de Gulden Snede weer interessant. In 1509 publiceert de Italiaanse monnik Pacioli zijn werk Divina Proportione, geïllustreerd door Leonardo da Vinci. In dit werk komen veel eigenschappen aan bod die in verband worden gebracht met een aantal stereometrische figuren. Deze eigenschap heet dan ook nog niet zo, Pacioli noemt haar ‘de goddelijke verhouding’, omdat zij volgens hem een aantal eigenschappen met God gemeen heeft. In de Renaissance worden veel bouw- en kunstwerken vervaardigd die volledig op de Gulden Snede gebaseerd zijn. Met name de Romeinse bouwstijl is sterk gebaseerd op de Gulden Snede, en ook het werk van Vitruvius wordt veelvuldig gebruikt bij de bouw van verschillende gebouwen. Maar pas veel later in 1835 duikt de term ‘Gulden Snede’ voor het eerst op in een wiskundeboek van een zekere Martin Ohm, wiens broer nog altijd voortleeft in de wet van de elektrische weerstand die hij ontdekte. Zo rond die tijd breekt de bloeitijd voor de Gulden Snede aan. Ongeveer twintig jaar later publiceert de Duitse filosoof Adolf Zeising zijn Neue Lehre von den Proportionen des Menslichen körpers waarin hij het menselijk lichaam tot in de details volgens de Gulden Snede verdeeld. Maar daar laat hij het niet bij, het hele dierenrijk volgens hem door de Gulden Snede beheerst. Ook recent onderzoek leverde soms uiteenlopende resultaten op. Bij een onderzoek waarbij mensen werd gevraagd te kiezen tussen een schilderij volgens de Gulden Snede of een tweede schilderij zonder deze verhoudingen, kwam het schilderij met de Gulden Snede minder vaak naar voren, terwijl eenzelfde onderzoek toegespitst op rechthoeken weer hele andere resultaten opleverde. Tot aan het eind van de 18e eeuw werd door verschillende volken, een maatsysteem gebruikt dat gebaseerd was op het menselijk lichaam. Pas tijdens de Franse Revolutie kwam er een einde aan deze ‘levende’ maar niet altijd nauwkeurige tweedimensionale maatsystemen. Er werd toen gekozen voor een abstracte maateenheid, namelijk de meter, een veertigmiljoenste deel van de equator.
Vanaf die tijd is men dus gaan werken met een zogenaamde standaardisatie, toch gebruiken maken ook hedendaagse kunstenaars nog veelvuldig gebruik van deze ‘goddelijke verhouding’, zoals hij ook wel genoemd wordt De gulden snede is dus een interessant vraagstuk. Persoonlijk denk ik dat de Gulden Snede wel degelijk bestaat, maar dat de mate waarin het voorkomt, met name in de natuur soms op betere wetenschappelijke wijze getoetst moet worden. De anatomie van verschillende dieren kunnen natuurlijk overeenkomsten met de Gulden Driehoek vertonen. Maar de manier waarop Adolf Zeising het menselijk lichaam verdeeld volgens de Gulden Snede is volgens mij meer gericht op het aantonen ervan dan op de vraag of de mens de Gulden verhoudingen wel bezit. Zie ook het hoofdstuk over Fibionacci.

Technisch: Gulden Snede : (Lat.: sectio aurea; proportio divina) mathematische verdeling berustend op het probleem om een lijn zodanig in twee ongelijke stukken te verdelen, dat het grootste deel middelevenredig is tussen het kleinste deel en de gehele lijn.
De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten.

Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt M, zodat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking:

Met kruislings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omschrijven tot

Met de abc-formule vinden we x = (–1 + Ö5)/2 » 0.618 of x = (–1 – Ö5)/2 » –1.618. We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (–1 + Ö5)/2 voldoet. Het getal (–1 + Ö5)/2 noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter j. Met een rekenmachine vind je dat j » 0,61803398875.

Vitruvius

Marcus Vitruvius Pollio, eigenlijk is er over hem maar zeer weinig bekend, hij leefde circa 25 voor Christus. Hij was een Romeins architect en militair specialist. Hij schreef De Architectura, een verhandeling beschreven in tien boeken voornamelijk op de Griekse bouwkunst was gebaseerd. Het is het enige geschreven werk over architectuur dat uit de oudheid bekend is en bewaard is gebleven. Zijn gegevens putte hij gedeeltelijk uit eigen ervaring maar voornamelijk uit Griekse bronnen. Hij heeft waarschijnlijk ook gebruik gemaakt van het werk van Euclides, maar omdat daar geen werk van bewaard is gebleven is het moeilijk om te zegen wat voor invloed Euclides heeft gehad. Euclides is wel de eerste geweest die menselijke proporties in verband bracht met architectuur. Euclides heeft zich waarschijnlijk laten inspireren door Pythagoras of Plato. Rond die periode zijn dus de eerste beginselen van de Gulden Snede ontwikkeld. Vitruvius heeft zich bij zijn bouwwerken duidelijk laten leiden door deze theorieën over menselijke proporties. De invloed van de Gulden Snede in zijn werk is dus duidelijk aanwezig. Vitruvius hanteerde als maateenheid: de helft van de middellijn van het onderste gedeelte van een schacht van een Dorische zuil. Of de hele middellijn van een Ionische zuil. Deze maateenheid bepaalde de afmetingen van de overige onderdelen van een tempel, waardoor een ‘evenwichtig’ bouwwerk ontstond. Vitruvius beschrijft in De Architectura veel uiteenlopende zaken op het gebied van de bouwkunst. Zo komen onder andere de fabricage van bouwmaterialen aan bod, maar ook installaties voor warm water voor publieke waterplaatsen, evenals geluidsversterking in amfitheaters en het ontwerpen van wegen en bruggen. Het werk van Vitruvius heeft grote invloed gehad op de bouwkunst tot en met de 18e eeuw, hoofdzakelijk op de bouwkunst uit de Renaissance.



















Fibionacci

De wiskundige Leonardo Pisano, ook wel Leonardo de Pisa genoemd, werd rond 1175 geboren in Pisa, als de zoon van de koopman Bonaccio. Hij schreef in 1202 een boek met de titel "Liber Abaci", het "boek van het telraam". Met dit boek introduceerde hij de Arabische getallen in Europa. Hij lost in het boek allerlei problemen uit het dagelijks leven op, met behulp van de Arabische algebra. Zo behandelt hij ook het "Konijntjesprobleem".
Als een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar voortbrengt, dat na twee maanden zelf ook weer een nieuw konijnenpaar voortbrengt, hoeveel konijnenparen heb je dan na verloop van tijd, verondersteld dat ze alle in leven blijven? Je krijgt het volgende resultaat:
· Januari: 1
· Februari: 2
· Maart: 3
· April: 5
· Mei: 8
· Juni: 13
· Juli: 21
· Augustus: 34
· September: 55
· Oktober: 89
· November: 144
· December: 233
Tussen de getallen in deze reeks bestaat een verband, namelijk dat elke term gelijk is aan de som van de twee voorafgaande termen. Deze reeks heeft een zeer interessante eigenschap. Wanneer je twee opeenvolgende termen door elkaar deelt, benadert de uitkomst de Gulden Snede, ook wel de Gulden Verhouding genoemd; 1 : 0,618. Over Leonardo Pisano is een biografie geschreven. In deze biografie werd hij ook wel "Filius Bonacci" genoemd, zoon van de Goedzak. Dit is verbasterd tot Fibonacci, onder welke naam nu ook de reeks van het Konijntjesprobleem bekend staat. Leonardo Pisano heeft als wiskundige de volgende boeken geschreven: Liber Abbaci (het calculatieboek), 1202 Practica Geometriae (De praktijk van de geometrie), 1220 Liber Quadratorum (Het boek van ronde getallen), 1225 Flos (De bloem), 1225

In de renaissance stond de mens en zijn activiteiten centraal. De Gulden Snede kreeg veel belangstelling en zo rond 1500 dachten mensen de Gulden Snede overal in te herkennen. Er werd toen ook een passer ontwikkeld met dubbele aanwijspunten waarmee men direct kon bepalen of iets wel of niet de Goddelijke verhoudingen bevat. Op dat punt ontstonden er felle discussies omdat mensen zich te vaak als het middelpunt zagen. Graag hadden critici de eindeloos te vormen vijfhoeken (het pentagram welke de Gulden Snede bevat) terzijde geschoven, was het niet dat allerlei geleerden met de speciale Gulden Snede passers de verhoudingen overal in de natuur hadden weten aan te wijzen. Deze twee plaatjes illustreren dit verschijnsel. Er zijn nog veel meer voorbeelden aan te halen, zoals de Gulden Snede in DNA, of de afstanden tussen de planeten in het zonnestelsel. De makers van onderstaande illustraties zijn niet bekend evenals de jaartallen.



Een ander voorbeeld is het onderzoek van Zeising. Ongeveer halverwege de 19e eeuw heeft hij bij 2000 mensen verschillende onderdelen van het menselijk lichaam opgemeten, vervolgens zijn deze gegevens...

fernand 31 juli 2008 @ 10:15 uur Beste Heer Jasper, ik ben Fernand Neerman uit Merendree (Nevele, België) en heb bijzonder veel aandacht voor Uw document over de Gulden snede, ik weet alleen niet of U nog aktief bent in de opvolging van Uw document. Ik denk dat ik na jaren opzoekingswerk heel wat materiaal heb samengebracht en daardoor een vernieuwende blik heb gekregen over de materie .... Groetjes van Fernand.